Cuando resolvemos un sistema, teóricamente lo que estamos haciendo es transformando un sistema en otro equivalente, que no es otra cosa que transformarlo en un sistema con la misma solución.
La “gracia” de esta transformación consiste en encontrar uno cuya solución conozcamos.
Ejemplo:
es equivalente a 
¿por qué son equivalentes?
Porque dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. En este caso, podemos verificar que el primer sistema acepta una única solución: el par (1,1) al igual que el segundo.
Hay tres operaciones elementales, que transforman un sistema en otro equivalente. Ellas son:
- Multiplicar una fila por un real distinto de 0.
- Intercambiar dos filas entre sí.
- Cambiar una fila por la suma de ella mas otra multiplicada por un real.
Si nosotros transformamos un sistema en otro, con alguna de estas operaciones elementales, nos aseguramos que ambos tienen el mismo conjunto solución.
Esa es la idea básica del sistema de escalerización: Aplicar transformaciones elementales consecutivamente hasta encontrar un sistema cuya solución conozcamos (o que sea trivial)
Ejemplo:
multiplicamos la fila 2 por “-2”: (1)
cambiamos la fila 2 por la suma de la primera mas la segunda: (3)*
dividimos la fila 2 entre 7: (1)**
multiplicamos la fila 2 por -3 para sumarla a al fila 1 (3)
dividimos la fila 1 entre 2: (1)
Notas:
(*) Estamos cambiando la segunda fila por la suma de ella mas la primera multiplicada por 1.
(**) Recuerda que dividir entre un número distinto de cero, es multiplicar por su inverso.
De esa forma, aplicando las tres operaciones elementales obtenemos el último sistema, que tiene el mismo conjunto solución que el primero. En este último, al tener un formato “especial”, podemos identificar fácilmente su solución y de esa forma, estamos encontrando la solución del primero.